10 problèmes mathématiques difficiles que même les personnes les plus intelligentes du monde ne peuvent pas résoudre (2023)

En septembre 2019, la nouvelle est tombée concernant les progrès réalisés sur cette question vieille de 82 ans, grâce au prolifique mathématicien Terence Tao. Et tandis que lehistoireLa percée de Tao est prometteuse, mais le problème n’est pas encore entièrement résolu.

Un rappel sur leConjecture de Collatz: Il s’agit de la fonction f(n), illustrée ci-dessus, qui prend les nombres pairs et les coupe en deux, tandis que les nombres impairs sont triplés puis ajoutés à 1. Prenez n’importe quel nombre naturel, appliquez f, puis appliquez f encore et encore. Vous finissez par atterrir sur 1, pour chaque numéro que nous avons vérifié. La conjecture est que cela est vrai pour tous les nombres naturels (entiers positifs de 1 à l’infini).

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Les travaux récents de Tao constituent une quasi-solution à la conjecture de Collatz, à certains égards subtils. Mais il ne pourra probablement pas adapter ses méthodes pour apporter une solution complète au problème, comme Tao l’a expliqué par la suite. Nous pourrions donc y travailler pendant encore des décennies.

La conjecture vit dans la discipline mathématique connue sous le nom deSystèmes dynamiques, ou l'étude de situations qui évoluent dans le temps de manière semi-prévisible. Cela semble être une question simple et anodine, mais c’est ce qui la rend spéciale. Pourquoi est-il si difficile de répondre à une question aussi fondamentale ? Il sert de référence pour notre compréhension ; une fois que nous l’aurons résolu, nous pourrons alors passer à des questions beaucoup plus compliquées.

L’étude des systèmes dynamiques pourrait devenir plus robuste que quiconque ne pourrait l’imaginer aujourd’hui. Mais nous devrons résoudre la conjecture de Collatz pour que le sujet prospère.

L’un des plus grands mystères non résolus des mathématiques est également très facile à écrire.La conjecture de Goldbach» signifie : « Chaque nombre pair (supérieur à deux) est la somme de deux nombres premiers. Vous vérifiez cela dans votre tête pour les petits nombres : 18 est 13+5 et 42 est 23+19. Les ordinateurs ont vérifié la conjecture pour trouver des nombres allant jusqu'à une certaine ampleur. Mais nous avons besoin de preuves pourtousnombres naturels.

La conjecture de Goldbach est issue de lettres de 1742 entre le mathématicien allemand Christian Goldbach et le légendaire mathématicien suisse.Léonhard Euler, considéré comme l'un des plus grands de l'histoire des mathématiques. Comme le dit Euler : « Je le considère comme un théorème tout à fait certain, même si je ne peux pas le prouver. »

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Euler a peut-être senti ce qui rend ce problème contre-intuitif difficile à résoudre. Lorsque vous regardez des nombres plus grands, vous constaterez qu’ils ont plus de façons de s’écrire sous forme de sommes de nombres premiers, pas moins. Par exemple, 3+5 est le seul moyen de diviser 8 en deux nombres premiers, mais 42 peut être divisé en 5+37, 11+31, 13+29 et 19+23. Il semble donc que la conjecture de Goldbach soit un euphémisme pour les très grands nombres.

Pourtant, une preuve de la conjecture pour tous les nombres échappe encore aujourd’hui aux mathématiciens. Il s’agit de l’une des questions ouvertes les plus anciennes de toutes les mathématiques.

Avec celle de Goldbach, la conjecture des jumeaux premiers est la plus célèbre de la théorie des nombres, ou l'étude des nombres naturels et de leurs propriétés, impliquant fréquemment des nombres premiers. Puisque vous connaissez ces chiffres depuis l’école primaire, il est facile d’énoncer des conjectures.

Lorsque deux nombres premiers ont une différence de 2, on les appelle des nombres premiers jumeaux. Ainsi, 11 et 13 sont des nombres premiers jumeaux, tout comme 599 et 601. Or, c'est un fait de la théorie des nombres du premier jour qu'il existe une infinité de nombres premiers. Alors, y en a-t-il une infinitédoublepremiers ? La conjecture Twin Prime dit oui.

Allons un peu plus loin. Le premier d'une paire de jumeaux premiers est, à une exception près, toujours 1 de moins qu'un multiple de 6. Et donc le deuxième jumeau premier est toujours 1 de plus qu'un multiple de 6. Vous pouvez comprendre pourquoi, si vous êtes prêt à suivez un peu de théorie des nombres enivrante.

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Tous les nombres premiers après 2 sont impairs. Les nombres pairs sont toujours 0, 2 ou 4 de plus qu'un multiple de 6, tandis que les nombres impairs sont toujours 1, 3 ou 5 de plus qu'un multiple de 6. Eh bien, l'une de ces trois possibilités pour les nombres impairs pose problème. Si un nombre est supérieur de 3 à un multiple de 6, alors il a unfacteurde 3. Avoir un facteur de 3 signifie qu'un nombre n'est pas premier (à la seule exception de 3 lui-même). Et c’est pourquoi un nombre impair sur trois ne peut pas être premier.

Comment va ta tête après ce paragraphe ? Imaginez maintenant les maux de tête de tous ceux qui ont tenté de résoudre ce problème au cours des 170 dernières années.

La bonne nouvelle est que nous avons réalisé des progrès prometteurs au cours de la dernière décennie. Les mathématiciens ont réussi à s'attaquer à des versions de plus en plus proches de la conjecture Twin Prime. C'était leur idée : difficulté à prouver qu'il existe une infinité de nombres premiers avec une différence de 2 ? Que diriez-vous de prouver qu’il existe une infinité de nombres premiers avec une différence de 70 000 000 ? Cela a été intelligemment prouvé en 2013 par Yitang Zhang de l’Université du New Hampshire.

Au cours des six dernières années, les mathématiciens ont amélioré ce nombre dans la preuve de Zhang, passant de millions à plusieurs centaines. Le réduire jusqu’à 2 sera la solution à la conjecture Twin Prime. Lenous sommes arrivés le plus près- étant donné quelques hypothèses techniques subtiles - est 6. Le temps nous dira si la dernière étape de 6 à 2 est imminente, ou si cette dernière partie défiera les mathématiciens pendant des décennies encore.

Les mathématiciens d’aujourd’hui seraient probablement d’accord sur le fait queHypothèse de Riemannest le problème ouvert le plus important de toutes les mathématiques. C'est l'un des septProblèmes liés au prix du millénaire, avec une récompense d'un million de dollars pour sa solution. Cela a des implications profondes dans diverses branches des mathématiques, mais c’est aussi assez simple pour que nous puissions expliquer l’idée de base ici.

Il existe une fonction, appelée fonction zêta de Riemann, écrite dans l'image ci-dessus.

Pour chaque s, cette fonction donne une somme infinie, qui nécessite quelques calculs de base pour s'approcher même des valeurs les plus simples de s. Par exemple, si s=2, alors 𝜁(s) est lesérie bien connue1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …, ce qui étrangement donne exactement 𝜋²/6. Lorsque s est un nombre complexe – qui ressemble à a+b𝑖, en utilisant le nombre imaginaire 𝑖 – trouver 𝜁(s) devient difficile.

Si délicate, en fait, que c’est devenu la question mathématique ultime. Plus précisément, l’hypothèse de Riemann concerne le moment où 𝜁(s)=0 ; la déclaration officielle est la suivante : « Chaque zéro non trivial de la fonction zêta de Riemann a une partie réelle 1/2. » Sur le plan des nombres complexes, cela signifie que la fonction a un certain comportement le long d’une ligne verticale spéciale. L’hypothèse est que le comportement continue dans cette direction infiniment.

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L'hypothèse et la fonction zêta proviennent du mathématicien allemand Bernhard Riemann, qui les a décrites en 1859. Riemann les a développées en étudiant les nombres premiers et leur distribution. Notre compréhension denombres premiersa prospéré au cours des 160 années qui ont suivi, et Riemann n'aurait jamais imaginé la puissance des supercalculateurs. Mais l’absence de solution à l’hypothèse de Riemann constitue un revers majeur.

Si l’hypothèse de Riemann était résolue demain, cela débloquerait une avalanche de progrès supplémentaires. Ce serait une énorme nouvelle dans tous les domaines de la théorie et de l’analyse des nombres. D’ici là, l’hypothèse de Riemann reste l’un des plus grands barrages au fleuve de la recherche mathématique.

LeConjecture de Birch et Swinnerton-Dyerest un autre des six problèmes non résolus du Prix du Millénaire, et c’est le seul autre que nous puissions décrire à distance dans un langage simple. Cette conjecture implique le sujet mathématique connu sous le nom de courbes elliptiques.

Quand nous avons récemmenta écrit sur les problèmes mathématiques les plus difficiles qui ont été résolus, nous avons mentionné l’une des plus grandes réalisations mathématiques du XXe siècle : la solution du dernier théorème de Fermat. Sir Andrew Wiles l'a résolu en utilisant des courbes elliptiques. On pourrait donc appeler cela une nouvelle branche très puissante des mathématiques.

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En un mot, une courbe elliptique est un type particulier de fonction. Ils prennent la forme peu menaçante y²=x³+ax+b. Il s'avère que des fonctions comme celle-ci ont certaines propriétés qui donnent un aperçu de sujets mathématiques comme l'algèbre et la théorie des nombres.

Les mathématiciens britanniques Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer ont développé leur conjecture dans les années 1960. Sa déclaration exacte est très technique et a évolué au fil des années. L’un des principaux responsables de cette évolution n’est autre que Wiles. Pour voir son état actuel et sa complexité, consultezcette fameuse mise à jourpar Wells en 2006.

Une large catégorie de problèmes en mathématiques est appeléeEmballage de sphèreProblèmes. Ils vont des mathématiques pures aux applications pratiques, associant généralement la terminologie mathématique à l'idée d'empiler plusieurs sphères dans un espace donné, comme des fruits à l'épicerie. Certaines questions de cette étude ont des solutions complètes, tandis que d'autres simples nous laissent perplexes, comme le problème du nombre de baisers.

Lorsqu'un groupe de sphères est regroupée dans une région, chaque sphère a un nombre de baisers, qui est le nombre d'autres sphères qu'elle touche ; si vous touchez 6 sphères voisines, alors votre numéro de baiser est le 6. Rien de compliqué. Un tas de sphères remplies aura un nombre moyen de baisers, ce qui aide à décrire mathématiquement la situation. Mais une question fondamentale sur le nombre de baisers reste sans réponse.

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Tout d’abord, une note sur les dimensions. Les dimensions ont une signification spécifique en mathématiques : ce sont des axes de coordonnées indépendants. L'axe des x et l'axe des y montrent les deux dimensions d'un plan de coordonnées. Lorsqu'un personnage dans unspectacle de science-fictiondit qu’ils vont dans une dimension différente, cela n’a pas de sens mathématique. Vous ne pouvez pas accéder à l’axe des x.

Un objet à une dimension est une ligne et un objet à deux dimensions est un plan. Pour ces nombres faibles, les mathématiciens ont prouvé le nombre de baisers maximum possible pour des sphères de autant de dimensions. Il est 2 lorsque vous êtes sur une ligne 1D : une sphère à votre gauche et l’autre à votre droite. Il existe des preuves d’un nombre exact pour 3 dimensions, même si cela a pris jusque dans les années 1950.

Au-delà des 3 dimensions, le problème des baisers n’est pour l’essentiel pas résolu. Les mathématiciens ont lentement réduit les possibilités à des plages assez étroites allant jusqu'à 24 dimensions, dont quelques-unes sont connues avec précision, comme vous pouvez le constater.sur ce tableau. Pour des nombres plus grands ou une forme générale, le problème est grand ouvert. Il existe plusieurs obstacles à une solution complète, notamment des limitations informatiques. Attendez-vous donc à des progrès progressifs sur ce problème dans les années à venir.

La version la plus simple duProblème de dénouementa été résolu, donc il y a déjà un certain succès avec cette histoire. Résoudre la version complète du problème sera un triomphe encore plus grand.

Vous n'avez probablement pas entendu parler de la matière mathématiqueThéorie des nœuds. Iln’est enseigné dans pratiquement aucune école secondaire et dans quelques collèges. L’idée est d’essayer d’appliquer des idées mathématiques formelles, comme des preuves, à des nœuds, comme… eh bien, avec quoi vous attachez vos chaussures.

Par exemple, vous savez peut-être comment faire un « nœud carré » et un « nœud grand-mère ». Ils ont les mêmes étapes sauf qu'une torsion est inversée du nœud carré au nœud grand-mère. Mais pouvez-vous prouver que ces nœuds sont différents ? Eh bien, les théoriciens des nœuds le peuvent.

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Le problème du Saint Graal des théoriciens des nœuds était un algorithme permettant d'identifier si un désordre enchevêtré est vraiment noué, ou s'il peut être démêlé pour rien. La bonne nouvelle, c'est que c'est chose faite ! Plusieurs algorithmes informatiques ont été écrits à cet effet au cours des 20 dernières années, et certains d'entre euxmême animer le processus.

Mais le problème du dénouement reste informatique. En termes techniques, on sait que le problème du dénouement est en NP, alors que nous ne le savons pas.'Je ne sais pas si c'est en P. Cela signifie en gros que nous savons que nos algorithmes sont capables de dénouer des nœuds de toute complexité, mais qu'à mesure qu'ils deviennent plus compliqués, cela commence à prendre un temps incroyablement long. Pour l'instant.

Si quelqu’un propose un algorithme capable de dénouer n’importe quel nœud dans ce qu’on appelle le temps polynomial, cela mettra complètement fin au problème du dénouement. D’un autre côté, quelqu’un pourrait prouver que ce n’est pas possible et que l’intensité informatique du problème du dénouement est inévitablement profonde. Finalement, nous le saurons.

Si vous n'en avez jamais entendu parlerGrands cardinaux, préparez-vous à apprendre. À la fin du XIXe siècle, un mathématicien allemand nomméGeorg CantorJ'ai compris que l'infini existe en différentes tailles. Certains ensembles infinis contiennent réellement plus d’éléments que d’autres d’une manière mathématique profonde, et Cantor l’a prouvé.

Il y a la première taille infinie,le plus petit infini, qui est noté ℵ₀. C'est une lettre hébraïque aleph ; on y lit « aleph-zéro ». C'est la taille de l'ensemble des nombres naturels, donc cela s'écrit |ℕ|=ℵ₀.

Ensuite, certains ensembles courants sont plus grands que la taille ℵ₀. Le principal exemple prouvé par Cantor est que l'ensemble des nombres réels est plus grand, écrit |ℝ|>ℵ₀. Mais les réels ne sont pas si grands ; nous commençons tout juste à parler des tailles infinies.

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Pour les très gros objets, les mathématiciens ne cessent de découvrir des tailles de plus en plus grandes, ou ce que nous appelons les grands cardinaux. C’est un processus mathématique pur qui se déroule comme ceci : quelqu’un dit : « J’ai pensé à une définition d’un cardinal, et je peux prouver que ce cardinal est plus grand que tous les cardinaux connus. » Ensuite, si leur preuve est bonne, c’est le nouveau plus grand cardinal connu. Jusqu'à ce que quelqu'un d'autre en propose un plus grand.

Tout au long du XXe siècle, la frontière des grands cardinaux connus a été progressivement repoussée. Il y a même maintenant une bellewiki des grands cardinaux connus, nommé en l'honneur de Cantor. Alors, est-ce que ça finira un jour ? La réponse est globalement oui, même si cela devient très compliqué.

Dans un certain sens, le sommet de la grande hiérarchie cardinale est en vue. Certains théorèmes ont été prouvés, qui imposent une sorte de plafond aux possibilités des grands cardinaux. Mais de nombreuses questions restent ouvertes, et de nouveaux cardinaux ont été définis pas plus tard qu’en 2019. Il est très possible que nous en découvrions davantage dans les décennies à venir. Espérons que nous aurons éventuellement une liste complète de tous les grands cardinaux.

Compte tenu de tout ce que nous savons sur deux des constantes mathématiques les plus célèbres,𝜋ete, c’est un peu surprenant à quel point nous sommes perdus lorsqu’ils sont additionnés.

Ce mystère concernenombres réels algébriques. La définition : Un nombre réel est algébrique s’il est la racine d’un polynôme à coefficients entiers. Par exemple, x²-6 est un polynôme à coefficients entiers, puisque 1 et -6 sont des nombres entiers. Les racines de x²-6=0 sont x=√6 et x=-√6, ce qui signifie que √6 et -√6 sont des nombres algébriques.

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Tous les nombres rationnels et leurs racines sont algébriques. On pourrait donc avoir l’impression que « la plupart » des nombres réels sont algébriques. Il s’avère que c’est en fait le contraire. L’antonyme de l’algébrique est transcendantal, et il s’avèrepresque toutesles nombres réels sont transcendantaux – pour certaines significations mathématiques de « presque tout ». Alors qui estalgébrique, et qui est transcendantal ?

Le nombre réel 𝜋 remonte aux mathématiques anciennes, tandis que le nombre e existe depuis le 17ème siècle. Vous avez probablement entendu parler des deux, et vous penseriez que nous connaissons la réponse à toutes les questions fondamentales qui se posent à leur sujet, n'est-ce pas ?

Eh bien, nous savons que 𝜋 et e sont transcendantaux. Mais d’une manière ou d’une autre, on ne sait pas si 𝜋+e est algébrique ou transcendantal. De même, nous ne connaissons pas 𝜋e, 𝜋/e et leurs autres combinaisons simples. Il existe donc des questions incroyablement fondamentales sur les chiffres que nous connaissons depuis des millénaires et qui restent encore mystérieuses.

Voici un autre problème très facile à écrire, mais difficile à résoudre. Tout ce que vous devez retenir, c'est la définition denombres rationnels.

Les nombres rationnels peuvent être écrits sous la forme p/q, où p et q sont des nombres entiers. Ainsi, 42 et -11/3 sont rationnels, alors que 𝜋 et √2 ne le sont pas. C’est une propriété très basique, donc on pourrait penser que nous pouvons facilement dire quand un nombre est rationnel ou non, n’est-ce pas ?

Rencontrez leConstante d'Euler-Mascheroni𝛾, qui est un gamma grec minuscule. C’est un nombre réel, environ 0,5772, avec une forme fermée qui n’est pas très moche ; cela ressemble à l'image ci-dessus.

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La manière élégante de mettre des mots sur ces symboles est « gamma est la limite de la différence entre la série harmonique et le log naturel ». C’est donc une combinaison de deux objets mathématiques très bien compris. Il a d’autres formes fermées soignées et apparaît dans des centaines de formules.

Mais d’une manière ou d’une autre, nous ne savons même pas si 𝛾 est rationnel. Nous avonscalculéil s’agit d’un demi-billion de chiffres, mais personne ne peut prouver si c’est rationnel ou non. La prédiction populaire est que 𝛾 est irrationnel. En plus de notre exemple précédent 𝜋+e, nous avons une autre question sur une propriété simple pour un nombre bien connu, et nous ne pouvons même pas y répondre.